篇一
第1章 有理数
1.1 正数和负数
（1） 正数：大于 0 的数；
负数：小于 0 的数；
（ 2 ） 0 既不是正数，也不是负数；
（3） 在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义；
（4） － a 不一定是负数， +a 也不一定是正数；
（5） 自然数： 0 和正整数统称为自然数；
（6） a>0 a 是正数； a ≥ 0 a 是正数或 0 a 是非负数；
a ＜ 0 a 是负数； a ≤ 0 a 是负数或 0 a 是非正数 .
1.2 有理数
（1） 正整数、 0 、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数；
（2） 正整数、 0 、负整数统称为整数；
（3） 有理数的分类：
(4) 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；（即数轴的三要素）
(5) 一般地，当 a 是正数时，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，距离原点 a 个单位长度；表示数－ a 的点在原点的左边，距离原点 a 个单位长度；
(6) 两点关于原点对称：一般地，设 a 是正数，则在数轴上与原点的距离为 a 的点有两个，它们分别在原点的左右，表示－ a 和 a ，我们称这两个点关于原点对称；
(7) 相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数；
(8) 一般地， a 的相反数是－ a ；特别地， 0 的相反数是 0 ；
(9) 相反数的几何意义：数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；
(10) a 、 b 互为相反数 a+b=0 ；（即相反数之和为 0 ）
(11) a 、 b 互为相反数 或 ；（即相反数之商为－ 1 ）
(12) a 、 b 互为相反数 |a|=|b| ； ( 即相反数的绝对值相等）
(13) 绝对值：一般地，在数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做 a 的绝对值；（ |a| ≥ 0 ）
(14) 一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数； 0 的绝对值是 0 ；
(15) 绝对值可表示为：
(17) 有理数的比较：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序。即左边的数小于右边的数；（ 正数大于 0 ， 0 大于负数，正数大于负数； 两个负数，其绝对值大的反而小；）
1.3 有理数的加减法
（1） 有理数的加法法则： 同号的两数相反，取相同符号，并把绝对值相加；
绝对值不相等的两数相加，取绝对值大的符号，并用绝对值大的减去绝对值
小的。互为相反数的两个数相加为 0 ；
一个数与 0 相加仍得这个数；
（2） 有理数加法的运算律： 加法交换律： a+b=b+a; 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
（3） 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即： a-b=a+(-b);
1.4 有理数的乘除法
（1） 有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与 0 相乘均为 0 ；
（2） 倒数：在有理数中仍然成立，即乘积是 1 的两个数互为倒数；
（3） 积的符号与负因数个数之间的关系：几个不是 0 的数相乘，当负因数的个数为偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数；几个数相乘时，当有因数是 0 时，积为 0 ；
（4） 有理数的乘法运算律： 乘法交换律： ab=ba; 乘法结合律： (ab)c=a(bc);
乘法分配律： a(b+c)=ab+ac;
（ 5 ）有理数的除法法则：除以一个不为 0 的数，等于乘以其倒数；即：
（ 6 ）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0 除以任一不为 0 的数，都得 0 ；
（ 7 ）在有理数的加减乘除混合运算中，若无括号，则按照先“先乘除后加减”的顺序进行运算；
1.5 有理数的乘方
（1） 乘方：相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；（在 中， a 是底数， n 是指数）
（2） 有理数的乘方运算法则： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 正数的任何次幂是正数；
0 的任何正次幂是 0 ；
（3） 有理数的混合运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左到右；
如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号的顺序进行；
（ 4 ）科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a × 10 n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法；
（ 5 ）近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位 .
（ 6 ）有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 .
第2章 整式的加减
2.1 整式
（1） 单项式：表示数或字母的积的式子；（单独一个数或一个字母也是单项式）
（2） 单项式的系数：单项式中的数字因数； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和；
（3） 多项式：几个单项式的和；
（4） 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项； 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数；
（5） 常数项：不含字母的项；
（6） 整式：单项式与多项式统称为整式；
2.2 整式的加减
（1） 同类项：所含字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项；（几个常数项也是同类项）
（2） 合并同类项法则：把多项式中的同类项合并成一项；
（3） 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；
（4） 去（添）括号： 若括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
若括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；
（ 5 ）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项；
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
（1） 方程：含未知数的等式；
（2） 一元一次方程：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是 1 的方程；
标准式： ax+b=0 （ x 是未知数， a 、 b 是已知数，且 a ≠ 0 ）；
（3） 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值；
（4） 等式的性质 1 ：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
如果 a=b ，那么 a ± c=b ± c;
等式的性质 2 ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等；
如果 a=b ，那么 ac=bc;
如果 a=b ， c 0 ，那么 ；
3.2 、 3.3 解一元一次方程 —— 合并同类项与移项、去括号与去分母
（ 1 ）合并同类项：把含 x 的项合并在一起；
（ 2 ）移项：把等式一边的某项变号反移到另一边；
（ 3 ）一元一次方程解法的一般步骤：
去分母 ---------- 两边 同乘 最简公分母
去括号 ---------- 注意符号变化
移项 ---------- 注意要变号
合并同类项 -------- 合并后注意符号
系数化为 1--------- 等式右边除以 x 的系数
3.4 实际问题与一元一次方程
（ 1 ）“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系；
“工作量＝人均效率×人数×时间”是计算工作量的常用数量关系式；
（ 2 ）列一元一次方程解应用题：
读题分析法 : 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套 …… ”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 .
画图分析法 : 多用于“行程问题”
仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础 .
（3） 列方程常用公式
1 ）行程问题： 距离 = 速度·时间 ；
（ 2 ）工程问题： 工作量 = 工效×工时；
工程问题常用等量关系： 先做的 + 后做的 = 完成量
（ 3 ）顺水逆水问题：
顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度；
顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程 = 逆水路程
（ 4 ）商品利润问题： 售价 = 定价 ， ；
利润问题常用等量关系： 售价 - 进价 = 利润
（ 5 ）配套问题：
（ 6 ）分配问题：
第四章 图形认识初步
4.1 多姿多彩的图形
（1） 几何图形：把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形；
（2） 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形；（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）
（3） 平面图形：各部分都在同一平面的几何图形；（如线段、三角形、长方形、圆等）
（4） 立体图形与平面图形互相联系，立体图形中某些部分是平面图形；（如长方体的侧面是长方形）
（5） 立体图形的三视图：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）
（6） 展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图；
（7） 几何体简称为体；
（8） 包围着体的是面；（面有平的面和曲的面两种）
（9） 面和面相交的地方形成线；线和线相交的地方形成点；
（10） 点动成线、线动成面、面动成体；
（11） 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素；
4.2 直线、射线、线段
（1） 一个关于直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
简述为：两点确定一条直线；
（2） 直线的表示方法： 用一个小写字母表示直线（如直线 l ）
用一条直线上的两点来表示这条直线（如直线 AB ）
射线和线段的表示方法类似；
（3） 两条直线相交：当两条不同的直线有一个公共点，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的
交点。
（4） 射线和线段都是直线的一部分；（由一条线段可以得到一条射线和一条直线）
（5） 线段的长度比较： 度量法； 叠合法；
（6） 线段的中点：把一条线段分成相等两个部分的点叫做这条线段的中点；（类似有三等分点、四等分 … ）
（7） 一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短；
简述为：两点之间，线段最短；
（8） 距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离；
4.3 角
（1） 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角； 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
（2） 把一个周角 360 等分，每一分就是 1 度的角，记作 1 °；把 1 度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，
记作 1 ′；把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 1 ″ ；
（3） 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制；
（4） 角的比较： 度量法； 叠合法；
（5） 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线；（类似
地有角的三等分线等）
（6） 互为余角：如果两个角的和等于 90 ° ，就说这两个角互为余角；（即其中一个角是另一个角的余角）
（7） 互为补角：如果两个角的和等于 180 ° ，就说这两个角互为补角；（即其中一个角是另一个角的补角）
（8） 补角的性质：等角的补角相等；
（9） 余角的性质：等角的余角相等；
篇二
提分数学七年级上知识清单
第一章 有理数
一．正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数
注意 ： ① 字母 a 可以表示任意数 ，当 a 表示正数时， -a 是负数；当 a 表示负数时， -a 是正数；当 a 表示 0 时， -a 仍是 0 。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法 是错误的 ，例如 +a,-a 就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“ + ”，有时“ + ”省略不写。所以 省略“ + ”的正数的符号是正号 。
2. 具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量 ，比如：
零上 8 ℃ 表示为： + 8 ℃ ； 零下 8 ℃ 表示为： -8 ℃
支出与收入 ; 增加与减少 ; 盈利与亏损 ; 北与南 ; 东与西 ; 涨与跌 ; 增长与降低等等是相对相反量，它们计数：
比原先多了的数 , 增加增长了的数一般记为正数 ; 相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。
3.0 表示的意义
⑴ 0 表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；
⑵ 0 是正数和负数的分界线， 0 既不是正数，也不是负数 。
二．有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、 0 、负整数统称为整数（ 0 和正整数统称为自然数 ）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数， 0 ，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解 ：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意 ： 引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像 -2,-4,-6,-8 …也是偶数， -1,-3,-5 …也是奇数。
2 . (1) 凡能写成
形式的数，都是有理数 . 正整数、 0 、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数 . 注意： 0 即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数， +a 也不一定 是正数； 不是有理数；
(2) 有理数的分类 : ① 按正 、 负 分类 : ② 按 有理数的意义 来分 :
总结：①正整数、 0 统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、 0 统称为非正整数
③正有理数、 0 统称为非负有理数
④负有理数、 0 统称为非正有理数
(3) 注意：有理数中， 1 、 0 、 -1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；
(4) 自然数 0 和正整数； a ＞ 0 a 是正数； a ＜ 0 a 是负数；
a ≥ 0 a 是正数或 0 a 是非负数； a ≤ 0 a 是负数或 0 a 是非正数 .
三． 数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意 ：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2 . 数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示， 0 用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但 数轴上的点不都表示有理数 ，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（ 如，数轴上的点π不是有理数 ）
3 . 利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于 0 ，负数都小于 0 ，正数大于负数；
⑶两个负数比较， 距离原点远的数比距离原点近的数小 。
4 . 数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是 0 ，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是 1 ，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是 -1 ，无最小的负整数
5 .a 可以表示什么数
⑴ a>0 表示 a 是正数；反之， a 是正数，则 a>0 ；
⑵ a<0 表示 a 是负数；反之， a 是负数，则 a<0
⑶ a=0 表示 a 是 0 ；反之， a 是 0, ，则 a=0
6 . 数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置 。
四． 相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 0 的相反数是 0 。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶ 0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0 。
2. 相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵ 0 的相反数是 0 ；
⑶ 互为相反数的两数和为 0 ，和为 0 的两数互为相反数 ，即 a ， b 互为相反数，则 a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点 距离相等 的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（ 0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。 0 的相反数对应原点；原点表示 0 的相反数。
说明： 在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称 。
4. 相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“ - ”即可求得（如： 5 的相反数是 -5 ）； 0 的相反数还是 0 ；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“ - ”，然后化简（如； 5a +b 的相反数是 - （ 5a +b ）。化简得 -5a -b ）； 注意： a-b+c 的相反数是 -a+b-c ； a-b 的相反数是 b-a ； a+b 的相反数是 -a-b ；
⑶求前面带“ - ”的单个数，也应先用括号括起来再添“ - ”，然后化简 ( 如： -5 的相反数是 - （ -5 ），化简得 5) ； ) 相反数的和为 0 a+b=0 a 、 b 互为相反数
5. 相反数的表示方法
⑴一般地，数 a 的相反数是 -a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或 0 。
当 a>0 时， -a<0 （ 正数的相反数是负数 ）
当 a<0 时， -a>0 （ 负数的相反数是正数 ）
当 a=0 时， -a=0 ，（ 0 的相反数是 0 ）
6. 多重符号的化简
多重符号的化简规律 : “ + ”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“ - ”号的个数决定最后化简结果；即： “ - ”的个数是奇数时，结果为负，“ - ”的个数是偶数时，结果为正 。
五． 绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的 距离 叫做 a 的绝对值，记作 |a| 。
2. 绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶ 0 的绝对值是 0.
可用字母表示为：
①如果 a>0 ，那么 |a|=a ； ②如果 a<0 ，那么 |a|=-a ； ③如果 a=0 ，那么 |a|=0 。
可归纳为①： a ≥ 0 ， < ═ > |a|=a （ 非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ）
② a ≤ 0 ， < ═ > |a|=-a （ 非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ）
3. 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有 非负性 。所以， a 取任何有理数，都有 |a| ≥ 0 。即 (1) 正数的绝对值是其本身， 0 的绝对值是 0 ，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； 绝对值是 0 的数是 0. 即： a=0 < ═ > |a|=0 ；
⑵ 一个数的绝对值是非负数， 绝对值最小的数是 0 . 绝对值可表示为：
或
； 即： |a| ≥ 0 ； 绝对值的问题经常分类讨论；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即： |a| ≥ a ；
第1章 有理数
1.1 正数和负数
（1） 正数：大于 0 的数；
负数：小于 0 的数；
（ 2 ） 0 既不是正数，也不是负数；
（3） 在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义；
（4） － a 不一定是负数， +a 也不一定是正数；
（5） 自然数： 0 和正整数统称为自然数；
（6） a>0 a 是正数； a ≥ 0 a 是正数或 0 a 是非负数；
a ＜ 0 a 是负数； a ≤ 0 a 是负数或 0 a 是非正数 .
1.2 有理数
（1） 正整数、 0 、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数；
（2） 正整数、 0 、负整数统称为整数；
（3） 有理数的分类：
(4) 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；（即数轴的三要素）
(5) 一般地，当 a 是正数时，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，距离原点 a 个单位长度；表示数－ a 的点在原点的左边，距离原点 a 个单位长度；
(6) 两点关于原点对称：一般地，设 a 是正数，则在数轴上与原点的距离为 a 的点有两个，它们分别在原点的左右，表示－ a 和 a ，我们称这两个点关于原点对称；
(7) 相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数；
(8) 一般地， a 的相反数是－ a ；特别地， 0 的相反数是 0 ；
(9) 相反数的几何意义：数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；
(10) a 、 b 互为相反数 a+b=0 ；（即相反数之和为 0 ）
(11) a 、 b 互为相反数 或 ；（即相反数之商为－ 1 ）
(12) a 、 b 互为相反数 |a|=|b| ； ( 即相反数的绝对值相等）
(13) 绝对值：一般地，在数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做 a 的绝对值；（ |a| ≥ 0 ）
(14) 一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数； 0 的绝对值是 0 ；
(15) 绝对值可表示为：
(16) ; ;
(17) 有理数的比较：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序。即左边的数小于右边的数；（ 正数大于 0 ， 0 大于负数，正数大于负数； 两个负数，其绝对值大的反而小；）
1.3 有理数的加减法
（1） 有理数的加法法则： 同号的两数相反，取相同符号，并把绝对值相加；
绝对值不相等的两数相加，取绝对值大的符号，并用绝对值大的减去绝对值
小的。互为相反数的两个数相加为 0 ；
一个数与 0 相加仍得这个数；
（2） 有理数加法的运算律： 加法交换律： a+b=b+a; 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
（3） 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即： a-b=a+(-b);
1.4 有理数的乘除法
（1） 有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与 0 相乘均为 0 ；
（2） 倒数：在有理数中仍然成立，即乘积是 1 的两个数互为倒数；
（3） 积的符号与负因数个数之间的关系：几个不是 0 的数相乘，当负因数的个数为偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数；几个数相乘时，当有因数是 0 时，积为 0 ；
（4） 有理数的乘法运算律： 乘法交换律： ab=ba; 乘法结合律： (ab)c=a(bc);
乘法分配律： a(b+c)=ab+ac;
（ 5 ）有理数的除法法则：除以一个不为 0 的数，等于乘以其倒数；即：
（ 6 ）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0 除以任一不为 0 的数，都得 0 ；
（ 7 ）在有理数的加减乘除混合运算中，若无括号，则按照先“先乘除后加减”的顺序进行运算；
1.5 有理数的乘方
（1） 乘方：相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；（在 中， a 是底数， n 是指数）
（2） 有理数的乘方运算法则： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 正数的任何次幂是正数；
0 的任何正次幂是 0 ；
（3） 有理数的混合运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左到右；
如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号的顺序进行；
（ 4 ）科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a × 10 n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法；
（ 5 ）近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位 .
（ 6 ）有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 .
第2章 整式的加减
2.1 整式
（1） 单项式：表示数或字母的积的式子；（单独一个数或一个字母也是单项式）
（2） 单项式的系数：单项式中的数字因数； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和；
（3） 多项式：几个单项式的和；
（4） 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项； 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数；
（5） 常数项：不含字母的项；
（6） 整式：单项式与多项式统称为整式；
2.2 整式的加减
（1） 同类项：所含字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项；（几个常数项也是同类项）
（2） 合并同类项法则：把多项式中的同类项合并成一项；
（3） 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；
（4） 去（添）括号： 若括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
若括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；
（ 5 ）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项；
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
（1） 方程：含未知数的等式；
（2） 一元一次方程：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是 1 的方程；
标准式： ax+b=0 （ x 是未知数， a 、 b 是已知数，且 a ≠ 0 ）；
（3） 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值；
（4） 等式的性质 1 ：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
如果 a=b ，那么 a ± c=b ± c;
等式的性质 2 ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等；
如果 a=b ，那么 ac=bc;
如果 a=b ， c 0 ，那么 ；
3.2 、 3.3 解一元一次方程 —— 合并同类项与移项、去括号与去分母
（ 1 ）合并同类项：把含 x 的项合并在一起；
（ 2 ）移项：把等式一边的某项变号反移到另一边；
（ 3 ）一元一次方程解法的一般步骤：
去分母 ---------- 两边 同乘 最简公分母
去括号 ---------- 注意符号变化
移项 ---------- 注意要变号
合并同类项 -------- 合并后注意符号
系数化为 1--------- 等式右边除以 x 的系数
3.4 实际问题与一元一次方程
（ 1 ）“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系；
“工作量＝人均效率×人数×时间”是计算工作量的常用数量关系式；
（ 2 ）列一元一次方程解应用题：
读题分析法 : 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套 …… ”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 .
画图分析法 : 多用于“行程问题”
仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础 .
（3） 列方程常用公式
1 ）行程问题： 距离 = 速度·时间 ；
（ 2 ）工程问题： 工作量 = 工效×工时；
工程问题常用等量关系： 先做的 + 后做的 = 完成量
（ 3 ）顺水逆水问题：
顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度；
顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程 = 逆水路程
（ 4 ）商品利润问题： 售价 = 定价 ， ；
利润问题常用等量关系： 售价 - 进价 = 利润
（ 5 ）配套问题：
（ 6 ）分配问题：
第四章 图形认识初步
4.1 多姿多彩的图形
（1） 几何图形：把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形；
（2） 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形；（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）
（3） 平面图形：各部分都在同一平面的几何图形；（如线段、三角形、长方形、圆等）
（4） 立体图形与平面图形互相联系，立体图形中某些部分是平面图形；（如长方体的侧面是长方形）
（5） 立体图形的三视图：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）
（6） 展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图；
（7） 几何体简称为体；
（8） 包围着体的是面；（面有平的面和曲的面两种）
（9） 面和面相交的地方形成线；线和线相交的地方形成点；
（10） 点动成线、线动成面、面动成体；
（11） 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素；
4.2 直线、射线、线段
（1） 一个关于直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
简述为：两点确定一条直线；
（2） 直线的表示方法： 用一个小写字母表示直线（如直线 l ）
用一条直线上的两点来表示这条直线（如直线 AB ）
射线和线段的表示方法类似；
（3） 两条直线相交：当两条不同的直线有一个公共点，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的
交点。
（4） 射线和线段都是直线的一部分；（由一条线段可以得到一条射线和一条直线）
（5） 线段的长度比较： 度量法； 叠合法；
（6） 线段的中点：把一条线段分成相等两个部分的点叫做这条线段的中点；（类似有三等分点、四等分 … ）
（7） 一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短；
简述为：两点之间，线段最短；
（8） 距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离；
4.3 角
（1） 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角； 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
（2） 把一个周角 360 等分，每一分就是 1 度的角，记作 1 °；把 1 度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，
记作 1 ′；把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 1 ″ ；
（3） 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制；
（4） 角的比较： 度量法； 叠合法；
（5） 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线；（类似
地有角的三等分线等）
（6） 互为余角：如果两个角的和等于 90 ° ，就说这两个角互为余角；（即其中一个角是另一个角的余角）
（7） 互为补角：如果两个角的和等于 180 ° ，就说这两个角互为补角；（即其中一个角是另一个角的补角）
（8） 补角的性质：等角的补角相等；
（9） 余角的性质：等角的余角相等；
篇二
提分数学七年级上知识清单
第一章 有理数
一．正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数
注意 ： ① 字母 a 可以表示任意数 ，当 a 表示正数时， -a 是负数；当 a 表示负数时， -a 是正数；当 a 表示 0 时， -a 仍是 0 。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法 是错误的 ，例如 +a,-a 就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“ + ”，有时“ + ”省略不写。所以 省略“ + ”的正数的符号是正号 。
2. 具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量 ，比如：
零上 8 ℃ 表示为： + 8 ℃ ； 零下 8 ℃ 表示为： -8 ℃
支出与收入 ; 增加与减少 ; 盈利与亏损 ; 北与南 ; 东与西 ; 涨与跌 ; 增长与降低等等是相对相反量，它们计数：
比原先多了的数 , 增加增长了的数一般记为正数 ; 相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。
3.0 表示的意义
⑴ 0 表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；
⑵ 0 是正数和负数的分界线， 0 既不是正数，也不是负数 。
二．有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、 0 、负整数统称为整数（ 0 和正整数统称为自然数 ）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数， 0 ，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解 ：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意 ： 引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像 -2,-4,-6,-8 …也是偶数， -1,-3,-5 …也是奇数。
2 . (1) 凡能写成 形式的数，都是有理数 . 正整数、 0 、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数 . 注意： 0 即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数， +a 也不一定 是正数； 不是有理数；
(2) 有理数的分类 : ① 按正 、 负 分类 :
② 按 有理数的意义 来分 :
总结：①正整数、 0 统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、 0 统称为非正整数
③正有理数、 0 统称为非负有理数
④负有理数、 0 统称为非正有理数
(3) 注意：有理数中， 1 、 0 、 -1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；
(4) 自然数 0 和正整数； a ＞ 0 a 是正数； a ＜ 0 a 是负数；
a ≥ 0 a 是正数或 0 a 是非负数； a ≤ 0 a 是负数或 0 a 是非正数 .
三． 数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意 ：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2 . 数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示， 0 用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但 数轴上的点不都表示有理数 ，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（ 如，数轴上的点π不是有理数 ）
3 . 利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于 0 ，负数都小于 0 ，正数大于负数；
⑶两个负数比较， 距离原点远的数比距离原点近的数小 。
4 . 数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是 0 ，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是 1 ，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是 -1 ，无最小的负整数
5 .a 可以表示什么数
⑴ a>0 表示 a 是正数；反之， a 是正数，则 a>0 ；
⑵ a<0 表示 a 是负数；反之， a 是负数，则 a<0
⑶ a=0 表示 a 是 0 ；反之， a 是 0, ，则 a=0
6 . 数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置 。
四． 相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 0 的相反数是 0 。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶ 0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0 。
2. 相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵ 0 的相反数是 0 ；
⑶ 互为相反数的两数和为 0 ，和为 0 的两数互为相反数 ，即 a ， b 互为相反数，则 a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点 距离相等 的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（ 0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。 0 的相反数对应原点；原点表示 0 的相反数。
说明： 在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称 。
4. 相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“ - ”即可求得（如： 5 的相反数是 -5 ）； 0 的相反数还是 0 ；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“ - ”，然后化简（如； 5a +b 的相反数是 - （ 5a +b ）。化简得 -5a -b ）； 注意： a-b+c 的相反数是 -a+b-c ； a-b 的相反数是 b-a ； a+b 的相反数是 -a-b ；
⑶求前面带“ - ”的单个数，也应先用括号括起来再添“ - ”，然后化简 ( 如： -5 的相反数是 - （ -5 ），化简得 5) ； ) 相反数的和为 0 a+b=0 a 、 b 互为相反数
5. 相反数的表示方法
⑴一般地，数 a 的相反数是 -a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或 0 。
当 a>0 时， -a<0 （ 正数的相反数是负数 ）
当 a<0 时， -a>0 （ 负数的相反数是正数 ）
当 a=0 时， -a=0 ，（ 0 的相反数是 0 ）
6. 多重符号的化简
多重符号的化简规律 : “ + ”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“ - ”号的个数决定最后化简结果；即： “ - ”的个数是奇数时，结果为负，“ - ”的个数是偶数时，结果为正 。
五． 绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的 距离 叫做 a 的绝对值，记作 |a| 。
2. 绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶ 0 的绝对值是 0.
可用字母表示为：
①如果 a>0 ，那么 |a|=a ； ②如果 a<0 ，那么 |a|=-a ； ③如果 a=0 ，那么 |a|=0 。
可归纳为①： a ≥ 0 ， < ═ > |a|=a （ 非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ）
② a ≤ 0 ， < ═ > |a|=-a （ 非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ）
3. 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有 非负性 。所以， a 取任何有理数，都有 |a| ≥ 0 。即 (1) 正数的绝对值是其本身， 0 的绝对值是 0 ，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； 绝对值是 0 的数是 0. 即： a=0 < ═ > |a|=0 ；
⑵ 一个数的绝对值是非负数， 绝对值最小的数是 0 . 绝对值可表示为： 或 ； 即： |a| ≥ 0 ； 绝对值的问题经常分类讨论；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即： |a| ≥ a ； ； ；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若 |x|=a （ a>0 ），则 x= ± a ；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即： |-a|=|a| 或若 a+b=0 ，则 |a|=|b| ； |a| 是重要的非负数，即 |a| ≥ 0 ；注意： |a| · |b|=|a · b|,
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即： |a|=|b| ，则 a=b 或 a=-b ；
⑺ 若几个数的绝对值的和等于 0 ，则这几个数就同时为 0 。即 |a|+|b|=0 ，则 a=0 且 b=0 。
（ 非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0 ，则有且只有这几个非负数同时为 0 ）
4. 有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较， 左边的 数 总比右边的 数 小 ，或者右边的数总比左边的数大
⑵利用绝对值比较两个负数的大小： 两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
（ 3 ）正数的绝对值越大，这个数越大；
（ 4 ）正数永远比 0 大，负数永远比 0 小；
（ 5 ）正数大于一切负数；
（ 6 ）大数 - 小数 ＞ 0 ，小数 - 大数 ＜ 0.
5. 绝对值的化简
①当 a ≥ 0 时， |a|=a ； ②当 a ≤ 0 时， |a|=-a
6. 已知一个数的绝对值，求这个数
一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0 ， 没有绝对值为负数的数 。
六． 有理数的加减法 .
1. 有理数的 加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与 0 相加，仍得这个数。
2. 有理数加法的运算律
⑴加法交换律： a+b=b+a
⑵加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加 —— “ 相反数结合法 ”；
②符号相同的两个数先相加 —— “ 同号结合法 ”；
③分母相同的数先相加 —— “ 同分母结合法 ”；
④几个数相加得到整数，先相加 —— “ 凑整法 ”；
⑤整数与整数、小数与小数相加 —— “ 同形结合法 ”。
3. 加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数 。即：
⑴当 b>0 时， a+b>a ⑵当 b<0 时， a+b
4 . 有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为： a-b=a+(-b) 。
5 . 有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=- 8-7-6 +5.
和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负 8 、负 7 、负 6 、正 5 的和”
②按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5 ”
6 . 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ . 把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）
=-49+41 （运用加法法则一进行运算）
=-8 （运用加法法则二进行运算）
Ⅱ . 把和为整数的加数相结合 （凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）
=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）
=-2.2 （得出结论）
Ⅵ . 分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9 … +66-67-68+69
原式 =( 2-3-4 +5)+(6-7-8+9)+ … +(66-67-68+69)
=0
Ⅶ . 先拆项后结合
（ 1+3+5+7 … +99 ） - （ 2+4+6+8 … +100 ）
七． 有理数的乘除法
1. 有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同 0 相乘，都得 0 ；
法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0, 则积等于 0.
2. 倒数
乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式 子表示为 a ·
=1 （ a ≠ 0 ），就是说 a 和互为倒数，即 a 是的倒数，是 a 的倒数 。
互为倒数： 乘积为 1 的两个数互为倒数；注意： 0 没有倒数；若 a ≠ 0 ，那么的 倒数 是倒数是本身的数是± 1 ；若 ab=1 a 、 b 互为倒数；若 ab=-1 a 、 b 互为负倒数 .
注意 ： ① 0 没有倒数 ；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可； 求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ；
④倒数等于它本身的数是 1 或 -1, 不包括 0 。
3. 有理数的乘法运算律
⑴ 乘法交换律： 一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即 ab=ba
⑵ 乘法结合律 ：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即 (ab)c=a(bc).
⑶ 乘法分配律 ：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即 a(b+c)=ab+ac
4. 有理数的除法 法则
（ 1 ） 除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数 ；注意：零不能做除数，
（ 2 ） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0
5. 有理数的乘除混合运算
（ 1 ） 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（ 2 ） 有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
八． 有理数的乘方
1. 乘方 的概念
求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在
中， a 叫做底数， n 叫做指数。
（ 1 ） a 2 是重要的非负数，即 a 2 ≥ 0 ；若 a 2 +|b|=0 a=0,b=0 ；
（ 2 ）据规律
底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位
2. 乘方的性质
（ 1 ） 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数 ； 注意：当 n 为正奇数时 : (-a) n =-a n 或 (a -b) n =-(b-a) n , 当 n 为正偶数时 : (-a) n =a n 或 (a-b) n =(b-a) n .
（ 2 ） 正数的任何次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0 。
九． 有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
十． 科学记数法
把一个大于 10 的数表示成的形式（其中 n 是正整数）， 这种记数法 是科学记数法
近似数的精确位： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位 .
有效数字： 从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 .
混合运算法则： 先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则 .
特殊值法： 是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法 , 但不能用于证明 .
等于本身的数汇总 ：
相反数等于本身的数： 0
倒数等于本身的数： 1 ， -1
绝对值等于本身的数：正数和 0
平方等于本身的数： 0,1
立方等于本身的数： 0,1 ， -1.
第二章 整式的加减
一． 用字母表示数 ( 代数初步知识 )
1. 代数式 ： 用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式 . 注意：用字母表示数有一定的，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式； 用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如 n,-1,2n+500,abc 。
2. 代数式书写规范 ：
（ 1 ）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘，或省略不写；
（ 2 ）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；
（ 3 ）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如 a × 5 应写成 5a ；
（ 4 ）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如 a ×应写成a ；
（ 5 ）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如 3 ÷ a 写成的形式；
（ 6 ） a 与 b 的差写作 a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为 a 、 b 时，则应分类，写做 a-b 和 b-a .
出现除式时，用分数表示；
(7) 若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
3. 几个重要的代数式：（ m 、 n 表示整数）
（ 1 ） a 与 b 的平方差是： a 2 -b 2 ； a 与 b 差的平方是： （ a-b ） 2 ；
（ 2 ）若 a 、 b 、 c 是正整数，则两位整数是： 10a+b , 则三位整数是： 100a+10b+c ；
（ 3 ）若 m 、 n 是整数，则被 5 除商 m 余 n 的数是： 5m+n ；偶数是： 2n ，奇数是： 2n+1 ；三个连续整数是： n-1 、 n 、 n+1 ；
（ 4 ）若 b ＞ 0 ，则正数是 : a 2 +b ，负数是： -a 2 -b ，非负数是： a 2 ，非正数是： -a 2 .
二．整式
1. 单项式 ：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2. 单项式的系数 ：单项式中的数字因数 ； 单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
3. 单项式的次数 ：一个单项式中，所有字母的指数和
4 多项式 ：几个单项式的和叫做多项式。 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 常数项的次数为 0 。
注意：（若 a 、 b 、 c 、 p 、 q 是常数） ax 2 +bx+c 和 x 2 +px+q 是常见的两个二次三项式 .
5 整式 ：单项式和多项式统称为整式，即 凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式 . 整式分类为：
.注意 ：分母上含有字母的不是整式。
6. 多项式的升幂和降幂排列 ： 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列） . 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列 .
三．整式的加减
1. 合并同类项
2 同类项 ：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
3 合并同类项的法则 ：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
4 合并同类项的步骤 ：（ 1 ）准确的找出同类项；（ 2 ）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；（ 3 ）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（ 4 ）写出合并后的结果。
5 去括号
去括号的法则 ：
（ 1 ）括号前面是“ + ”号，把括号和它前面的“ + ”号去掉，括号里各项的符号都不变；
（ 2 ）括号前面是“ — ”号，把括号和它前面的“ — ”号去掉，括号里各项的符号都要改变。
6 添括号法则 ： 添括号时，若括号前边是“ + ”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“ - ”号，括号里的各项都要变号 .
7 整式的加减 ：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项； 整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并 .
8 整式加减的步骤 ：（ 1 ）列出代数式；（ 2 ）去括号；（ 3 ）添括号（ 4 ）合并同类项。
第三章 一元一次方程
1 等式与等量 ： 用“ = ”号连接而成的式子叫等式 . 注意： “等量就能代入”！
2 等式的性质 ：
等式性质 1 ：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质 2 ：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式 .
3 方程 ： 含未知数的等式，叫方程 .
4 一元一次方程的概念 ：只含有 一个 未知数（元）（ 含未知数项的系数不是零） 且未知数的指数是 1 （次）的整式方程叫做一元一次方程。一般形式： ax+b=0 （ x 是未知数， a 、 b 是已知数，且 a ≠ 0 ） . 最简形式： ax=b （ x 是未知数， a 、 b 是已知数，且 a ≠ 0 ）
注意 ：未知数在分母中时，它的次数不能看成是 1 次。如
，它不是一元一次方程。
5 解一元一次方程
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解； 注意： “方程的解就能代入”验算！
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
等式的性质：（ 1 ）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（ 2 ）等式两边都乘或除以同一个不等于 0 的数，所得结果仍是等式。
6 移项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（ 1 ）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质 1 ；（ 2 ）系数化为 1 实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质 2 。
移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。
注意：移项时要跨越“ = ”号，移过的项一定要变号。
7 解一元一次方程的一般步骤 ： 整理方程、 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 ； （检验方程的解）。
注意 ：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
8 用方程解决问题
列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系
9 列一元一次方程解应用题 ：
（ 1 ）读题分析法 : ………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加， 减少，配套 ----- ”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 .
（ 2 ）画图分析法 : ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础 .
10 实际问题的常见类型 ：
（单位：路程 —— 米、千米；时间 —— 秒、分、时；速度 —— 米 ／ 秒、米 ／ 分、千米 ／ 小时）
（ 2 ） 工程问题：工作总量 = 工作时间 × 工作效率，
工作总量 = 各部分工作量的和；
（ 3 ） 利润问题：利润 = 售价 - 进价，利润率 =，售价 = 标价 × （ 1- 折扣）；
（ 4 ）商品价格问题： 售价 = 定价·折·，利润 = 售价 - 成本，
（ 5 ） 利息问题：本息和 = 本金 + 利息；利息 = 本金 × 利率
（ 6 ）比率问题： 部分 = 全体·比率
（ 7 ）顺逆流问题： 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度；
（ 8 ）等积变形问题：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高；圆柱的体积 = 底面积 × 高；锻造前的体积 = 锻造后的体积
（ 9 ）周长、面积、体积问题： C 圆 =2 π R ， S 圆 = π R 2 ， C 长方形 =2(a+b) ， S 长方形 =ab ， C 正方形 =4a ，
S 正方形 =a 2 ， S 环形 = π (R 2 -r 2 ),V 长方体 =abc ， V 正方体 =a 3 ， V 圆柱 = π R 2 h ， V 圆锥 =π R 2 h.
10 ．列一元一次方程解应用题：
（ 1 ）读题分析法 : ………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套 ----- ”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 .
（ 2 ）画图分析法 : ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础 .
第四章 走进 图形世界
1、 几何图形 ：
现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形，叫做几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形 ：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。
平面图形 ：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。
立体图形与平面图形 ：许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形。
2 、点、线、面、体
（ 1 ）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。
包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。面和面相交的地方形成线；线和线相交的地方是点；几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
（ 2 ） 点动成线，线动成面，面动成体 。
3 、生活中的立体图形 圆柱柱体 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……生活中的立体图形 球体 ( 按名称分 ) 圆锥 椎体棱锥
4 、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n 棱柱有 两 个底面， n 个侧面，共 （ n+2 ） 个面； 3n 条棱， n 条侧棱； 2n 个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。
5 、正方体的平面展开图： 11 种
6 、截一个正方体 ：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
7 、 三 视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
平面 图形的认识
线 段 ，射线，直线
名称
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
线段
不能延伸
2
线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线
都是直的线
射线
只能向一方延伸
直线
可向两方无限延伸
点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示，如点 A
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线 l , 或者直线 AB
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线 l , 射线 AB
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段 l , 线段 AB
点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
线段的性质
（ 1 ）线段公理： 两点之间的所有连线中，线段最短 。
（ 2 ）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（ 3 ）线段的中点到两端点的距离相等。
（ 4 ）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
（ 5 ） 线段的比较： 1. 目测法 2. 叠合法 3. 度量法
线段的中点：
点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM ，点 M 叫做线段 AB 的中点。
M 是线段 AB 的中点AM=BM=
AB （或者 AB=2AM=2BM ）
直线的性质
（ 1 ）直线公理： 经过两个点有且只有一条直线。
（ 2 ） 过一点的直线有无数条。
（ 3 ）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（ 4 ）直线上有无穷多个点。
（ 5 ）两条不同的直线至多有一个公共点。
经过两点有一条直线，并且只有一条直线；两点确定一条直线；点 C 线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB ，点 M 叫做线段 AB 的中点。类似的还有线段的三等分点、四等分点等。
直线桑一点和它一旁的部分叫做射线；两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
角： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角： 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
角的表示 ：
①用数字表示单独的角，如∠ 1 ，∠ 2 ，∠ 3 等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠ B ，∠ C 等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠ BAD ，∠ BAE ，∠ CAE 等。
注意 ：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
用一副三角板，可以画出 15 ° ， 30 ° ， 45 ° ， 60 ° ， 75 ° ， 90 ° ， 105 ° ， 120 ° ， 135 ° ， 150 ° ， 165 °
角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“°”表示， 1 度记作“ 1 °”， n 度记作“ n °”； 度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角 360 等分，每一份就是一度的角，记作 1 °；
把 1 °的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角， 1 分记作“ 1’ ”；
把 1’ 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角， 1 秒记作“ 1” ”；
角的性质
（ 1 ）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（ 2 ）角的大小可以度量，可以比较
（ 3 ）角可以参与运算。
角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 类似的，还有叫的三等分线
OB 平分 ∠ AOC
∠ AOB= ∠ BOC=
∠ AOC （或者 ∠ AOC=2 ∠ AOB=2 ∠ BOC ）
余角和补角
1 如果两个角的和是一个直角 等于 90 ° ，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果 ∠α + ∠β =90 ° ，那么 ∠α 与 ∠β 互余；反过来，如果 ∠α 与 ∠β 互余，那么 ∠α + ∠β =90 °
② 如果两个角的和是一个平角 等于 180 ° ，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果 ∠α + ∠β =180 ° ，那么 ∠α 与 ∠β 互补；反过来如果 ∠α 与 ∠β 互补，那么 ∠α + ∠β =180 °
③ 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
对顶角
1 一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。
注意： 对顶角 是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。
② 对顶角的性质： 对顶角相等
如图 ， ∠ 1 和 ∠ 4 是对顶角， ∠ 2 和 ∠ 3 是对顶角
∠ 1= ∠ 4 ， ∠ 2= ∠ 3
平行线：
在同一个平面内 ，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“ AB ∥ CD ”，读作“ AB 平行于 CD ”。
注意： （ 1 ）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（ 2 ）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
补充平行线的判定方法：
（ 1 ）平行于同一条直线的两直线平行。
（ 2 ）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。
（ 3 ）平行线的定义。
垂直：
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线 AB ， CD 互相垂直，记作“ AB ⊥ CD ”（或“ CD ⊥ AB ” ) ，读作“ AB 垂直于 CD ”（或“ CD 垂直于 AB ”）。
垂线的性质：
性质 1 ：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2 ：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
点到直线的距离： 过 A 点作 l 的垂线，垂足为 B 点，线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离。
同一平面内 ，两条直线的位置关系 ：相交或平行。
图形知识结构图 :
绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若 |x|=a （ a>0 ），则 x= ± a ；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即： |-a|=|a| 或若 a+b=0 ，则 |a|=|b| ； |a| 是重要的非负数，即 |a| ≥ 0 ；注意： |a| · |b|=|a · b|,
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即： |a|=|b| ，则 a=b 或 a=-b ；
⑺ 若几个数的绝对值的和等于 0 ，则这几个数就同时为 0 。即 |a|+|b|=0 ，则 a=0 且 b=0 。
（ 非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0 ，则有且只有这几个非负数同时为 0 ）
4. 有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较， 左边的 数 总比右边的 数 小 ，或者右边的数总比左边的数大
⑵利用绝对值比较两个负数的大小： 两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
（ 3 ）正数的绝对值越大，这个数越大；
（ 4 ）正数永远比 0 大，负数永远比 0 小；
（ 5 ）正数大于一切负数；
（ 6 ）大数 - 小数 ＞ 0 ，小数 - 大数 ＜ 0.
5. 绝对值的化简
①当 a ≥ 0 时， |a|=a ； ②当 a ≤ 0 时， |a|=-a
6. 已知一个数的绝对值，求这个数
一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0 ， 没有绝对值为负数的数 。
六． 有理数的加减法 .
1. 有理数的 加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与 0 相加，仍得这个数。
2. 有理数加法的运算律
⑴加法交换律： a+b=b+a
⑵加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加 —— “ 相反数结合法 ”；
②符号相同的两个数先相加 —— “ 同号结合法 ”；
③分母相同的数先相加 —— “ 同分母结合法 ”；
④几个数相加得到整数，先相加 —— “ 凑整法 ”；
⑤整数与整数、小数与小数相加 —— “ 同形结合法 ”。
3. 加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数 。即：
⑴当 b>0 时， a+b>a ⑵当 b<0 时， a+b
4 . 有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为： a-b=a+(-b) 。
5 . 有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=- 8-7-6 +5.
和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负 8 、负 7 、负 6 、正 5 的和”
②按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5 ”
6 . 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ . 把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）
=-49+41 （运用加法法则一进行运算）
=-8 （运用加法法则二进行运算）
Ⅱ . 把和为整数的加数相结合 （凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）
=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）
=-2.2 （得出结论）
Ⅵ . 分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9 … +66-67-68+69
原式 =( 2-3-4 +5)+(6-7-8+9)+ … +(66-67-68+69)
=0
Ⅶ . 先拆项后结合
（ 1+3+5+7 … +99 ） - （ 2+4+6+8 … +100 ）
七． 有理数的乘除法
1. 有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同 0 相乘，都得 0 ；
法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0, 则积等于 0.
2. 倒数
乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式 子表示为 a ·=1 （ a ≠ 0 ），就是说 a 和互为倒数，即 a 是的倒数，是 a 的倒数 。
互为倒数： 乘积为 1 的两个数互为倒数；注意： 0 没有倒数；若 a ≠ 0 ，那么的 倒数 是；倒数是本身的数是± 1 ；若 ab=1 a 、 b 互为倒数；若 ab=-1 a 、 b 互为负倒数 .
注意 ： ① 0 没有倒数 ；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可； 求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ；
④倒数等于它本身的数是 1 或 -1, 不包括 0 。
3. 有理数的乘法运算律
⑴ 乘法交换律： 一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即 ab=ba
⑵ 乘法结合律 ：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即 (ab)c=a(bc).
⑶ 乘法分配律 ：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即 a(b+c)=ab+ac
4. 有理数的除法 法则
（ 1 ） 除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数 ；注意：零不能做除数，
（ 2 ） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0
5. 有理数的乘除混合运算
（ 1 ） 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（ 2 ） 有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
八． 有理数的乘方
1. 乘方 的概念
求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中， a 叫做底数， n 叫做指数。
（ 1 ） a 2 是重要的非负数，即 a 2 ≥ 0 ；若 a 2 +|b|=0 a=0,b=0 ；
（ 2 ）据规律
底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位
2. 乘方的性质
（ 1 ） 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数 ； 注意：当 n 为正奇数时 : (-a) n =-a n 或 (a -b) n =-(b-a) n , 当 n 为正偶数时 : (-a) n =a n 或 (a-b) n =(b-a) n .
（ 2 ） 正数的任何次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0 。
九． 有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
十． 科学记数法
把一个大于 10 的数表示成的形式（其中， n 是正整数）， 这种记数法 是科学记数法
近似数的精确位： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位 .
有效数字： 从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 .
混合运算法则： 先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则 .
特殊值法： 是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法 , 但不能用于证明 .
等于本身的数汇总 ：
相反数等于本身的数： 0
倒数等于本身的数： 1 ， -1
绝对值等于本身的数：正数和 0
平方等于本身的数： 0,1
立方等于本身的数： 0,1 ， -1.
第二章 整式的加减
一． 用字母表示数 ( 代数初步知识 )
1. 代数式 ： 用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式 . 注意：用字母表示数有一定的，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式； 用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如 n,-1,2n+500,abc 。
2. 代数式书写规范 ：
（ 1 ）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘，或省略不写；
（ 2 ）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；
（ 3 ）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如 a × 5 应写成 5a ；
（ 4 ）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如 a ×应写成a ；
（ 5 ）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如 3 ÷ a 写成的形式；
（ 6 ） a 与 b 的差写作 a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为 a 、 b 时，则应分类，写做 a-b 和 b-a .
出现除式时，用分数表示；
(7) 若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
3. 几个重要的代数式：（ m 、 n 表示整数）
（ 1 ） a 与 b 的平方差是： a 2 -b 2 ； a 与 b 差的平方是： （ a-b ） 2 ；
（ 2 ）若 a 、 b 、 c 是正整数，则两位整数是： 10a+b , 则三位整数是： 100a+10b+c ；
（ 3 ）若 m 、 n 是整数，则被 5 除商 m 余 n 的数是： 5m+n ；偶数是： 2n ，奇数是： 2n+1 ；三个连续整数是： n-1 、 n 、 n+1 ；
（ 4 ）若 b ＞ 0 ，则正数是 : a 2 +b ，负数是： -a 2 -b ，非负数是： a 2 ，非正数是： -a 2 .
二．整式
1. 单项式 ：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2. 单项式的系数 ：单项式中的数字因数 ； 单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
3. 单项式的次数 ：一个单项式中，所有字母的指数和
4 多项式 ：几个单项式的和叫做多项式。 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 常数项的次数为 0 。
注意：（若 a 、 b 、 c 、 p 、 q 是常数） ax 2 +bx+c 和 x 2 +px+q 是常见的两个二次三项式 .
5 整式 ：单项式和多项式统称为整式，即 凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式 . 整式分类为
.注意 ：分母上含有字母的不是整式。
6. 多项式的升幂和降幂排列 ： 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列） . 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列 .
三．整式的加减
1. 合并同类项
2 同类项 ：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
3 合并同类项的法则 ：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
4 合并同类项的步骤
（ 1 ）准确的找出同类项；
（ 2 ）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；
（ 3 ）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
（ 4 ）写出合并后的结果。
5 去括号
去括号的法则 ：
（ 1 ）括号前面是“ + ”号，把括号和它前面的“ + ”号去掉，括号里各项的符号都不变；
（ 2 ）括号前面是“ — ”号，把括号和它前面的“ — ”号去掉，括号里各项的符号都要改变。
6 添括号法则 ： 添括号时，若括号前边是“ + ”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“ - ”号，括号里的各项都要变号 .
7 整式的加减 ：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项； 整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并 .
8 整式加减的步骤 ：（ 1 ）列出代数式；（ 2 ）去括号；（ 3 ）添括号（ 4 ）合并同类项。
第三章 一元一次方程
1 等式与等量 ： 用“ = ”号连接而成的式子叫等式 . 注意： “等量就能代入”！
2 等式的性质 ：
等式性质 1 ：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质 2 ：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式 .
3 方程 ： 含未知数的等式，叫方程 .
4 一元一次方程的概念 ：只含有 一个 未知数（元）（ 含未知数项的系数不是零） 且未知数的指数是 1 （次）的整式方程叫做一元一次方程。一般形式： ax+b=0 （ x 是未知数， a 、 b 是已知数，且 a ≠ 0 ） . 最简形式： ax=b （ x 是未知数， a 、 b 是已知数，且 a ≠ 0 ）
注意 ：未知数在分母中时，它的次数不能看成是 1 次。如
，它不是一元一次方程。
5 解一元一次方程
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解； 注意： “方程的解就能代入”验算！
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
等式的性质：（ 1 ）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（ 2 ）等式两边都乘或除以同一个不等于 0 的数，所得结果仍是等式。
6 移项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（ 1 ）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质 1 ；（ 2 ）系数化为 1 实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质 2 。
移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。
注意：移项时要跨越“ = ”号，移过的项一定要变号。
7 解一元一次方程的一般步骤 ： 整理方程、 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 ； （检验方程的解）。
注意 ：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
8 用方程解决问题
列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系
9 列一元一次方程解应用题 ：
（ 1 ）读题分析法 : ………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加， 减少，配套 ----- ”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 .
（ 2 ）画图分析法 : ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础 .
10 实际问题的常见类型 ：
（ 1 ） 行程问题：路程 = 时间 × 速度，
（单位：路程 —— 米、千米；时间 —— 秒、分、时；速度 —— 米 ／ 秒、米 ／ 分、千米 ／ 小时）
（ 2 ） 工程问题：工作总量 = 工作时间 × 工作效率， 总量 = 各部分工作量的和；
（ 3 ） 利润问题：利润 = 售价 - 进价，利润率 =售价 = 标价 × （ 1- 折扣）；
（ 4 ）商品价格问题： 售价 = 定价·折·利润 = 售价 - 成本，
（ 5 ） 利息问题：本息和 = 本金 + 利息；利息 = 本金 × 利率
（ 6 ）比率问题： 部分 = 全体·比率
（ 7 ）顺逆流问题： 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度；
（ 8 ）等积变形问题：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高；圆柱的体积 = 底面积 × 高；锻造前的体积 = 锻造后的体积
（ 9 ）周长、面积、体积问题： C 圆 =2 π R ， S 圆 = π R 2 ， C 长方形 =2(a+b) ， S 长方形 =ab ， C 正方形 =4a ，S 正方形 =a 2 ， S 环形 = π (R 2 -r 2 ),V 长方体 =abc ， V 正方体 =a 3 ， V 圆柱 = π R 2 h ， V 圆锥 =
π R 2 h.
10 ．列一元一次方程解应用题：
（ 1 ）读题分析法 : ………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套 ----- ”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 .
（ 2 ）画图分析法 : ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础 .
第四章 走进 图形世界
1、 几何图形 ：
现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形，叫做几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形 ：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。
平面图形 ：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。
立体图形与平面图形 ：许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形。
2 、点、线、面、体
（ 1 ）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。
包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。面和面相交的地方形成线；线和线相交的地方是点；几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
（ 2 ） 点动成线，线动成面，面动成体 。
3 、生活中的立体图形 圆柱
柱体
棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……
生活中的立体图形 球体
( 按名称分 ) 圆锥
椎体
棱锥
4 、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n 棱柱有 两 个底面， n 个侧面，共 （ n+2 ） 个面； 3n 条棱， n 条侧棱； 2n 个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。
5 、正方体的平面展开图： 11 种
6 、截一个正方体 ：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
7 、 三 视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
② 对顶角的性质： 对顶角相等
如图 ， ∠ 1 和 ∠ 4 是对顶角， ∠ 2 和 ∠ 3 是对顶角
∠ 1= ∠ 4 ， ∠ 2= ∠ 3
平行线：
在同一个平面内 ，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“ AB ∥ CD ”，读作“ AB 平行于 CD ”。
注意： （ 1 ）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（ 2 ）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
补充平行线的判定方法：
（ 1 ）平行于同一条直线的两直线平行。
（ 2 ）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。
（ 3 ）平行线的定义。
垂直：
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线 AB ， CD 互相垂直，记作“ AB ⊥ CD ”（或“ CD ⊥ AB ” ) ，读作“ AB 垂直于 CD ”（或“ CD 垂直于 AB ”）。
垂线的性质：
性质 1 ：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2 ：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
点到直线的距离： 过 A 点作 l 的垂线，垂足为 B 点，线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离。
同一平面内 ，两条直线的位置关系 ：相交或平行。
图形知识结构图 :